Chapter 01 : Basic Concepts (মৌলিক ধারণা)

Chapter 01

Basic Concepts (মৌলিক ধারণা)

Pure analysis এর বিভিন্ন শাখায় যোগজ সমীকরণ (integral equation) খুবই দরকারী technique, যেমনঃ functional analysis এর বিভিন্ন তত্ত্ব (theory) এবং stochastic process এ ইন্টিগ্রাল সমীকরণ দরকার হয়। এটা mathematical analysis (গাণিতিক বিশ্লেষণ) এর খুবই গুরুত্বপূর্ণ একটি শাখা, বিশেষ করে ordinary এবং partial differential equation এর theory তে boundary value problem এর প্রয়োজনীয়তার কারণে। Mechanics (বলবিদ্যা) এবং Mathematical Physics (গাণিতিক পদার্থবিদ্যা) এর বিভিন্ন field এ যোগজ সমীকরণের (integral equation) এর প্রয়োগ ঘটে। আবার mechanical vibration সংক্রান্ত বিভিন্ন সমস্যা, analytic function এর বিভিন্ন theory, orthogonal system, infinitely many variables এর ক্ষেত্রে theory of quadratic forms এও integral equation বা যোগজ সমীকরণের ব্যবহার পরিলক্ষিত হয়। যোগজ সমীকরণ বিজ্ঞান ও প্রযুক্তির কতিপয় সমস্যার উদ্ভব ঘটায় এবং হতে পারে এটা সরাসরি কোনো physical problem থেকে উদ্ভুত। যেমনঃ radiation transfer problem এবং neutron diffusion problem ইত্যাদি। আবার solution of differential equation এর জন্য representation formulae হিসেবেও integral equation ব্যবহৃত হয়। initial এবং boundary condition এর সাহায্যে Differential equation কে integral equation দ্বারা replace করা যায়। যেমনঃ integral equation এর প্রত্যেকটা solution অটোমেটিকালি এইসকল boundary conditions গুলোকে সিদ্ধ করে।

গণিতের সাথে integral equation এর সাক্ষাত হয়েছিলো কয়েক বছর ধরেই, মূলত Fourier integral এর theory র মাধ্যমেই! Fourier inversion formulae অন্যতম একটি প্রথম ফলাফল ছিল, যেটা integral equation এর সাথে সম্পর্কিত।

এখানে, সম্পর্ক (২) হতে (১) নং integral equation এর solution পাওয়া যায়। যেখানে, u (x) একটি unknown function এবং Φ (x) একটি known function.

১৮২৬ সালে Abel আরেকটি integral equation এর অবতারনা করেনঃ অভিকর্ষ বলের ক্রিয়ার অধীনে একটি material point কিছু মসৃণ curve বরাবর একটি  (ξ,η) উলম্ব তলের (vertical plane) উপর দিয়ে গতিশীল হয়। সেই curve কে সংজ্ঞায়িত করতে এটা প্রয়োজনীয়, যেন material point স্থির অবস্থান থেকে y কোটিবিশিষ্ট P(x,y) থেকে যাত্রা শুরু করে যে কোনো সময় t তে  Q (ξ,η) বিন্দুতে পৌছায়। চলমান বিন্দুর বেগ v এর পরমমান হলোঃ [A material point under the action of force of gravity moves in the vertical plane (ξ,η) along some smooth curve. It is required to define the curve such that material point, starting from rest at a point P(x,y) of the curve with ordinate y, reaches the point Q (ξ,η) at any instant t. The absolute value of velocity v of the moving point is:]

যেখানে, ξ অক্ষের সাথে স্পর্শকের ঢাল (slope of the tangent) θ কোণে আনত।

এবার 0 থেকে y লিমিটের মধ্যে সমাকলন (integration) করে পাই,

যেখানে, $\phi(\eta)=(\sin \theta)^{-1} F(y)=\int_a^y \frac{\phi(\eta)}{\sqrt{(y-\eta)}} d \eta, F(a)=0$ কে Abel’s integral equation বলা হয়।

এখানে, F(y) একটি continuous function এবং  Φ(η) একটি unknown function. যদি পথটি জানা থাকে তাহলে material point অবতরণ করতে কত সময় লাগবে (the time of descent) সেটা বের করা যাবে।

১৯ শতকের শেষের দিকে ইতালীয় গণিতবিদ V. Volterra (1896) এর নিরলস প্রচেষ্টায় integral equation এর প্রসার পূর্ণাঙ্গরুপে ঘটে এবং 1900 সালের দিকে সুইডিস গণিতবিদ I. Fredholm, Dirichlet problem এর সমাধান পদ্ধতি (method of solution) সংক্রান্ত একটি কাজ publish করেন।