Initial Value Problem (আদি মান সমস্যা)

 Initial value problem হচ্ছে general solution থেকে particular solution বের করার একটি পদ্ধতি। আমরা যখন কোনো differential equation কে solve করি, n order এর differential equation এর জন্য আমরা n সংখ্যক arbitrary constant পাই। এই arbitrary constant গুলাকে definite কোনো value দিয়ে assign করতে initial condition এর দরকার হয়, যার মাধ্যমে আমরা পরবর্তীতে particular solution বের করে থাকি। inital value problem এ independent variable এর যেকোনো একটি মানের জন্য corresponding dependent variable এর একটি মান দেওয়া থাকে। সেই condition কে apply করে আমরা particular solution তথা arbitrary constant গুলার মান বের করি।

এবার 1st order differential equation এর ক্ষেত্রে inital value problem কেমন হয়, দেখা যাক…
একটা differential equation বিবেচনা করি,

যেখানে x হচ্ছে independent variable, y হচ্ছে dependent variable, এবং তাদের derivative থাকবে। এবং একটি initial condition অর্থাৎ,

x এর value যখন $x_{0}$, তখন functional value কত?

$y(x_{0})=y_{0}$ এই condition এর সাহায্যে যখন সেই arbitrary constant গুলাকে বের করা হবে, তখন সেটা হবে 1st order এর inital value problem.
 
2nd order এর inital value problem এর জন্য একইভাবে ২ টা initial condition দেওয়া থাকতে হবে। যেহেতু এটা 2nd order এর differential equation, তাই সমাধান করার পর ২ টা constant চলে আসবে। এদের মান জানার জন্য আমাদেরকে, y এর উপর শর্ত বা condition প্রয়োগ করতে হবে,
অর্থাৎ, x এর independent value র মান যখন $x_{0}$ তখন dependent value র মান কত?

এবং, independent value র মান যখন $x_{0}$ তখন dependent variable এর 1st derivative এর মান কত?

… এই দুইটা জিনিসের মান জানলে আমরা এটাকে 2nd order inital value problem বলতে পারব।
 
একইভাবে আমরা n তম order এর initial value problem ও বের করতে পারব।

IVP এর Geometry

একটা অন্তরক সমীকরণ (differential equation) বিবেচনা করি,

এটাকে সমাধান করলে আমরা পাব, $y=x^{2}+c$
এটাকে বলে family of solutions, এখানে c এর মানের উপর ভিত্তি করে অনেকরকম লেখচিত্র পাওয়া যাবে।
এখন, y = x² + c এই ফাংশনটা দেখতে আসলে কেমন?

উপরিউক্ত লেখচিত্র বা graph থেকে আমরা দেখতে পাচ্ছি, c এর মান যখন ০, তখন সেটা একটা মূলবিন্দুগামী পরাবৃত্ত বা parabola হবে। আবার c এর মান ঋণাত্মক হলে curve টি y অক্ষের নিচের দিকে নেমে যাবে, আবার c এর মান ধনাত্মক হলে আবার বক্ররেখাটি উপরের দিকে উঠবে। এভাবে আমরা অসংখ্য পরাবৃত্ত পাব এই differential equation (অন্তরক সমীকরণ) এর সমাধান থেকে।

এবার, যদি initial condition y(0) = 2 হয়, (x এর মান যখন 0, তখন y এর মান থাকবে 2) তখন কিন্তু আমরা অসংখ্য সমাধান পাব না বরং একটি নির্দিষ্ট graph পাব। গ্রাফটি নিম্নরুপঃ

চিত্রে কিন্তু অনেকগুলো curve নেই, এরকম একটা পরাবৃত্তই exist করছে। এই পরাবৃত্তটাই হলো আমাদের কাঙ্খিত সমাধান (required solution)। এই সমাধানটি বের করার জন্য আমরা যে (0,2) বিন্দুটির সাহায্য নিয়েছি, সেটাই initial condition.

আর এভাবেই initial condition এর সাহায্যে initial value problem গুলো বের করা হয়।

initial value problem এর একটি উদাহরণ,

আমরা যখন differential equation সমাধান করার অনেকগুলো technique শিখব, তখন প্রত্যেকটি technique এর সাথে initial value problem গুলো সমাধান করতে পারব। এখন যেহেতু আমরা technique জানিনা, তাই খুব সহজ একটা উদাহরণ এখানে দেখানো হলোঃ–

y' = 1 ; y (0) = 2

এই সমীকরণটি আমরা যে কেউ ই সমাধান করতে পারব, কারণ আমরা যদি উভয় পাশে integration করি,

y = x + c …………. (i)

এটাই আমাদের solution.

আর এখানে initial condition যেটা দেওয়া আছে সেটা হলো y(0) = 2, অর্থাৎ আমরা যদি x এর জায়গায় 0 বসাই, তাহলে y এর জায়গায় পাব 2.

0 + c = 2

 c = 2

এবার (i) নং সমীকরণে c এর মান বসিয়ে পাই,

y = x + 2 …………. (ii)

এটাই হলো initial value problem থেকে পাওয়া particular solution.