I. Volterra integral equation (ভলতেরা যোগজ সমীকরণ)

 

একটি integral equation কে Volterra integral equation তখনই বলা হবে, যখন integration এর upper limit একটা variable হবে।

যেমনঃ $\alpha(\mathrm{x}) \phi(\mathrm{x})=\mathrm{F}(\mathrm{x})+\lambda \int_{\mathrm{a}}^{\mathrm{x}} \mathrm{K}(\mathrm{x}, \xi) \phi(\xi) \mathrm{d} \xi$

এখানে আবার ৩ টি case রয়েছে :

Case 01 : যখন α = 0 , তখন unknown function Φ কে শুধুমাত্র integral sign এর ভেতরেই দেখা যায়, সমীকরণের অন্য কোনো জায়গায় দেখা যায় না।

যেমনঃ $F(x)=-\lambda \int_a^x K(x, \xi) \phi(\xi) d \xi, \quad a>-\infty$

একে বলা হয় ১ম প্রকারের ভলতেরা যোগজ সমীকরণ (Volterra integral equation of 1st kind)

Case 02 : যখন α = 1 ,  তখন unknown function Φ কে integral sign এর ভেতরে এবং বাহিরে উভয় জায়গাতেই দেখা যায়।

যেমনঃ $\phi(\mathrm{x})=\mathrm{F}(\mathrm{x})+\lambda \int_{\mathrm{a}}^{\mathrm{x}} \mathrm{K}(\mathrm{x}, \xi) \phi(\xi) \mathrm{d} \xi$

একে বলা হয় ২য় প্রকারের অসমমাত্রিক ভলতেরা যোগজ সমীকরণ (non-homogeneous Volterra integral equation of 2nd kind)

Case 03 : যখন α = 1 এবং F (x) = 0, তখন আরো সংক্ষিপ্ত আকারে সমীকরণটিকে লেখা যায়ঃ

$\phi(\mathrm{x})=\lambda \int_{\mathrm{a}}^{\mathrm{x}} \mathrm{K}(\mathrm{x}, \xi) \phi(\xi) \mathrm{d} \xi$

একে বলা হয় ২য় প্রকারের সমমাত্রিক ভলতেরা যোগজ সমীকরণ (homogeneous Volterra integral equation of 2nd kind)