1.1. Integral Equation (যোগজ সমীকরণ)

Integral equation হলো এমন এক ধরণের সমীকরণ, যেখানে এক বা একাধিক integral sign এর under এ একটি অজানা ফাংশন (চলক রাশির ফাংশন) নির্ণয় করা হয়। যদি সেখানে ফাংশনের derivative involve থাকে, তাহলে তাকে integro differential equation বলে।

integral equation টি linear হবে যদি কেবল unknown function এর উপরে linear operation গুলো perform করা হয়, অর্থাৎ, এমন equation যেখানে unknown function এর কোনো non-linear function থাকবে না, অন্যথায় integral equation টি non-linear হবে। যেমনঃ

এগুলো linear integral equation. এবং

....................... (3)

এটা একটা non- linear integral equation.
এখানে, সমীকরণ (1), (2) ও (3) এর Φ (x) ফাংশনটি হলো unknown function, যেখানে অন্য সকল ফাংশনই known function. এই ফাংশনগুলো real variables x এবং ξ এর জন্য complex-valued function ও হতে পারে।

$\alpha(\mathrm{x}) \phi(\mathrm{x})+\mathrm{F}(\mathrm{x})+\lambda \int_{\Omega} \mathrm{K}(\mathrm{x}, \xi) \phi(\xi) \mathrm{d} \xi=0$ আকারের equation কে linear integral equation বলে; যেখানে, Φ (x) হলো unknown function, α(x),F(x) এবং integral equation এর kernel K(x,ξ) হলো known function, λ হলো একটি non-zero real অথবা complex parameter, এবং এই ইন্টিগ্রেশনটি auxiliary variable ξ এর ডোমেইন Ω পর্যন্ত বিস্তৃত (extends over).

যেসকল integral equation লিনিয়ার, তাদের সাথে integral operator থাকে।

যার kernel K(x,ξ).

এটা linearity condition satisfy করবে, যখন

যেখানে, $\mathrm{L}[\phi(\xi)]=\int_{\Omega} \mathrm{K}(\mathrm{x}, \xi) \phi(\xi) \mathrm{d} \xi$ এবং $C_{1}$,$C_{2}$ ধ্রুবক।

Linear integral equation ২ প্রকার। যথাঃ

১। Volterra integral equation. (ভলতেরা যোগজ সমীকরণ)

২। Fredholm integral equation. (ফ্রেডহোম যোগজ সমীকরণ)