Boundary Value Problem (সীমা মান সমস্যা)

Boundary value problem এর সাথে initial value problem এর একটু পার্থক্য রয়েছে। boundary value problem এও মূলত একটি শর্তারোপ বা condition apply করা হয় এবং এই condition এর সাহায্যে general solution থেকে particular solution বের করা হয়। কিন্তু এখানে independent variable (স্বাধীন চলক) এর দুটি মানের জন্য dependent variable এর দুটি আলাদা আলাদা মান দেওয়া থাকে এবং সেই condition এর সাহায্যে boundary value problem এর arbitrary constant গুলো বের করতে হয়।

যেমনঃ $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+y=0$ একটা 2nd order differential equation, এই সমীকরণ সমাধান করা হলে ২ টি constant আসবে, তাদের মান বের করার জন্য এখানে দুটি condition দেওয়া হয়েছে।

y (0) = 1
y (π/2) = 5
কিন্তু দুটোই দেওয়া হয়েছে dependent variable এর উপর।
অর্থাৎ, x এর মান যখন 0, dependent variable এর মান 1 ;

আবার, x এর মান যখন $\frac{\pi }{2}$, dependent variable এর মান 5 ;

কিন্তু এখানে যদি y এর উপরে আরোপিত condition এর সাথে y' এর মানও দেওয়া থাকত , তখন আমরা এটাকে initial value problem বলতে পারতাম, কিন্তু এখানে y' এর কোনো মান দেওয়া হয়নি বরং dependent variable y এর উপর দুটি condition প্রয়োগ করা হয়েছে। এ দুটি condition এর সাহায্যে $c_{1}$ এবং $c_{2}$ এই দুটি constant বের করা হবে। তাই এটাকে বলা হয় boundary value problem।

এবার আমরা একটি উদাহরণ দেখি,

একটি Boundary Value Poblem (BVP) সমাধান করা যাক।

একটি differential equation বিবেচনা করি, 

y" - y = 0

এবং তার solution, $y=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-x}$……………. (ii)

এবার আমাদের arbitrary constant, $c_{1}$ এবং $c_{2}$ এর মান বের করতে হবে।

Boundary Condition: y (0) = 1

                                y (1) = 1

condition এ দেওয়া আছে x = 0 তে y = 0, অর্থাৎ

y (0) = 0

এবার (ii) নং সমীকরণে x = 0 বসালে পাব,

$c_{1}e^{0}+c_{2}e^{-0}=y$

$\Rightarrow c_{1}=-c_{2}$

এবার আমরা যদি 2nd condition টি প্রয়োগ করি, অর্থাৎ

y (1) = 1

এখন (ii) নং সমীকরণে x = 1 বসালে পাব,

এবার এই $c_{2}$ এর মানকে যদি আমরা -1 দ্বারা গুণ করি, তাহলেই আমরা $c_{1}$ পেয়ে যাব।

এভাবেই আমরা initial value problem এবং Boundary Value Poblem এর সাহায্যে আমরা যেকোনো general solution থেকে particular solution বের করতে পারি।